11066 - 파일 합치기
문제
소설가인 김대전은 소설을 여러 장(chapter)으로 나누어 쓰는데, 각 장은 각각 다른 파일에 저장하곤 한다. 소설의 모든 장을 쓰고 나서는 각 장이 쓰여진 파일을 합쳐서 최종적으로 소설의 완성본이 들어있는 한 개의 파일을 만든다. 이 과정에서 두 개의 파일을 합쳐서 하나의 임시파일을 만들고, 이 임시파일이나 원래의 파일을 계속 두 개씩 합쳐서 소설의 여러 장들이 연속이 되도록 파일을 합쳐나가고, 최종적으로는 하나의 파일로 합친다. 두 개의 파일을 합칠 때 필요한 비용(시간 등)이 두 파일 크기의 합이라고 가정할 때, 최종적인 한 개의 파일을 완성하는데 필요한 비용의 총 합을 계산하시오.
예를 들어, C1, C2, C3, C4가 연속적인 네 개의 장을 수록하고 있는 파일이고, 파일 크기가 각각 40, 30, 30, 50 이라고 하자. 이 파일들을 합치는 과정에서, 먼저 C2와 C3를 합쳐서 임시파일 X1을 만든다. 이때 비용 60이 필요하다. 그 다음으로 C1과 X1을 합쳐 임시파일 X2를 만들면 비용 100이 필요하다. 최종적으로 X2와 C4를 합쳐 최종파일을 만들면 비용 150이 필요하다. 따라서, 최종의 한 파일을 만드는데 필요한 비용의 합은 60+100+150=310 이다. 다른 방법으로 파일을 합치면 비용을 줄일 수 있다. 먼저 C1과 C2를 합쳐 임시파일 Y1을 만들고, C3와 C4를 합쳐 임시파일 Y2를 만들고, 최종적으로 Y1과 Y2를 합쳐 최종파일을 만들 수 있다. 이때 필요한 총 비용은 70+80+150=300 이다.
소설의 각 장들이 수록되어 있는 파일의 크기가 주어졌을 때, 이 파일들을 하나의 파일로 합칠 때 필요한 최소비용을 계산하는 프로그램을 작성하시오.
코드
import math
def solve():
n = int(input())
arr = [int(x) for x in input().split()]
dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
for j in range(n):
for i in range(j, -1, -1):
if i == j:
continue
small = math.inf
for k in range(j-i):
small = min(small, dp[i][i+k] + dp[i+k+1][j])
dp[i][j] = small + sum(arr[i:j+1])
print(dp[0][n-1])
t = int(input())
for _ in range(t):
solve()한마디
점화식 발견하는 게 너무 어려워서 인터넷에 검색해보니 Knuth's Optimization을 이용해 푼 사람들이 많았다. DP 문제에서 특정한 조건을 만족하는 경우에 사용하면 좋은 최적화 기법이라고 하는데, 혼란만 더 가중시켰다. 유튜브에 어떤 분이 잘 설명해주셔서 동영상을 보고 이해했다.
이해한 내용을 적어보자면 다음과 같다.
예제 1처럼 C1, C2, C3, C4 연속된 네 장의 파일에서 우리가 구하려는 최소 비용을 f(C1, C4) 라고 해보자. 경우의 수는 크게 세 가지로 나눌 수 있다.
- C1 + C2 -> (C1 + C2) + C3 -> ((C1 + C2) + C3) + C4
- f(C1, C1) + f(C2, C4)
- C1 + C2 -> C3 + C4 -> (C1 + C2) + (C3 + C4)
- f(C1, C2) + f(C3, C4)
- C3 + C4 -> C2 + (C3 + C4) -> C1 + (C2 + (C3 + C4))
- f(C1, C3) + f(C4, C4)
이를 이용하여 2차원 dp 리스트를 채워나가면 된다.
